因子分解机(Factorization Machine, FM), 是由Konstanz大学(德国康斯坦茨大学)Steffen Rendle(现任职于Google)于2010年最早提出的,旨在解决大规模稀疏数据下的特征组合问题。

所谓的因子即潜因子(latent factors),在推荐系统中矩阵分解中常提及。ratings(n,m)评分矩阵,分解为:users(n,x) * items(x,m).

对于分类和回归问题,核心的一个问题是:特征组合。它的威力巨大。如果每个特征两两组合,n个特征下,产生的组合特征有:n * (n-1)/2。当n=100时,就有4950种. 如果每种特征以one-hot编码,每个特征的取值有100个,那这个数字又要另算了…(100 * 100 * (100 * 100-1) / 2)=5000w种了…当然,这个矩阵是稀疏的。

如果模型为多项式模型:

本文简述下manual上的几个要点。

1.准备

1.下载、编译:https://github.com/srendle/libfm

2.编译出三个bin:

  • libFM: the libFM tool
  • convert: a tool for converting text-files into binary format , 文本转二进制工具
  • transpose: a tool for transposing binary design matrices,二进制设计矩阵转置工具

2.数据格式

libsvm sparse格式:

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2
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4 0:1.5 3:-7.9 
2 1:1e-5 3:2 
-1 6:1

3.格式转换

script下,内置了脚本。

推荐系统中,常见格式:

1
userid itemid rating

例如:Movielens 1M数据集:

1
./triple_format_to_libfm.pl -in ratings.dat -target 2 -delete_column 3 -separator "::"

如果同时对训练集、测试集处理:

1
./triple_format_to_libfm.pl -in train.txt,test.txt -target 2 -separator "\t"

4.二进制格式

二进制数据格式优点:

  • 1.读取快
  • 2.原始数据不能直接装进内存(太大);二进制格式可以存在磁盘上,一部分装进内存中 (使用–cache size)
  • 3.如果使用ALS 和 MCMC,可以预先计算转置矩阵

示例:将movielens数据集转换成二进制格式:

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./convert --ifile ratings.dat.libfm --ofilex ratings.x --ofiley ratings.y

生成两个文件:

  • ratings.x: 设计矩阵X,即:要预测的变量X
  • ratings.y: 输出target:y

推荐使用这种后缀命名法。

5.转置数据

对于MCMC和ALS学习,需要使用转置的设计矩阵。

  • 如果使用文本格式,数据在内部会自动进行转置。
  • 如果使用二进制格式,进行转置。

示例:

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./transpose --ifile ratings.x --ofile ratings.xt

6.train与test

6.1 完整参数

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-cache_size     cache size for data storage (only applicable if data is
            in binary format), default=infty
-dim            'k0,k1,k2': k0=use bias, k1=use 1-way interactions,
            k2=dim of 2-way interactions; default=1,1,8
-help           this screen
-init_stdev     stdev for initialization of 2-way factors; default=0.1
-iter           number of iterations; default=100
-learn_rate     learn_rate for SGD; default=0.1
-load_model     filename for reading the FM model
-meta           filename for meta information about data set
-method         learning method (SGD, SGDA, ALS, MCMC); default=MCMC
-out            filename for output
-regular        'r0,r1,r2' for SGD and ALS: r0=bias regularization,
                r1=1-way regularization, r2=2-way regularization
-relation       BS: filenames for the relations, default=''
-rlog           write measurements within iterations to a file;
                default=''
-save_model     filename for writing the FM model
-seed           integer value, default=None
-task           r=regression, c=binary classification [MANDATORY]
-test           filename for test data [MANDATORY]
-train          filename for training data [MANDATORY]
-validation     filename for validation data (only for SGDA)
-verbosity      how much infos to print; default=0

6.2 强制参数

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-task: 分类(-task c)或回归(-task r)
-train: 训练
-test: 测试
-dim: libfm的维度. k0, k1, k2.  
	k0: {0,1},是否使用bias: w0
	k1: {0,1},是否使用one-way interactions(每个变量都加上bias)
	k2: 实数集。使用pairwise interactions所需的因子数。k表示R^(pxk)

示例:一个回归任务,使用bias,1-way interaction, k=8 pairwise interaction.

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./libFM -task r -train ml1m-train.libfm -test ml1m-test.libfm -dim ’1,1,8’

6.3 可选参数

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-out:输出。对于分类,输出为正例的概率
-rlog:每次迭代的统计信息日志。csv格式
-verbosity: 是否打印更详细信息。

6.4 高级参数

Grouping

使用meta选项对输入变量进行group分组。用于MCMC, SGDA and ALS的grouping,定义了一个更复杂的正则结构。每个group都有独自的正则项参数。如要使用grouping,meta参数最好是文件名,行数与输入变量数(列)相同。每行为相应的输入变量指定groupid。注意:group_id必须是从0开始的数值型。

例如:一个设计矩阵的grouping文件,它有7列;最大id是6:

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2
0
1
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1
0

这里总共有3个组,前两个变量(设置矩阵中的列)具有相同的分组,第三个和最后一个具有相同分组;第4、5、6具有相同分组

Binary Data and Caching

对于设计矩阵,二进制的文件名以.x结尾,target以.y结尾,转置数据以.xt结尾。如果你想在libFM中使用二进制数据,训练、测试、验证时的命令行参数中文件名,则不必使用.x, .y, .xt结尾。

例如:如果你训练(ml1m-train.x, ml1m-train.y, ml1m-train.xt)和测试数据的调用(ml1m-test.x, ml1m-test.y, ml1m-test.xt):

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./libFM -task r -train ml1m-train -test ml1m-test -dim ’1,1,8’

libFM会自动将合适的文件扩展名附加上后面进行学习。

如果你的数据太大装不进内存,你可以指定libFM允许的文件内容大小:

1
./libFM -task r -train ml1m-train -test ml1m-test -dim ’1,1,8’ -cache_size 100000000

在该例中,会使用100MB用于缓存每个.x或.xt文件。注意,.y文件总是能完整读到内存中。

如果参数cache_size没有指定,所有数据都会加载到内存中。注意:只要你的数据比内存大,你就应该使用caching;因为caching会使用硬盘,它会略比内存慢。

6.4 学习方法

缺省下,使用MCMC推断(MCMC inference)进行学习,因为MCMC最便于处理(没有学习率,没有正则项)。在LibFM中,你可以从以下的学习方法中选择:SGD, ALS, MCMC和SGDA. 对于所有学习方法,都需要指定迭代次数iter。

6.4.1 SGD

使用-method sgd即可。对于随机梯度下降法,需要指定以下参数:

  • learn_rate: 学习率,即SGD的step size,必须是非0正值
  • regular: 正则参数。非零正值。
  • init_stdev: 正态分布的标准差,它用于初始化参数V。你应使用一个非零正值

对于SGD,你需要指定以下的正则参数:

  • 1个值(-regular value): 所有模型参数都使用相同正则项
  • 3个值(-regular ‘value0,value1,value2’): 0-way interactions(w0),使用value0作为正则项;1-way interactions(w)使用value1,而pairwise interactions(V)使用value2.
  • 没有值:如果参数-regular完全没指定任何数,则对应于没有正则项。比如:-regular 0

示例:

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./libFM -task r \
		-train ml1m-train.libfm \
		-test ml1m-test.libfm \
		-dim ’1,1,8’ \
		-iter 1000 \
		-method sgd \
		-learn_rate 0.01 \
		-regular ’0,0,0.01’ \
		-init_stdev 0.1

6.4.2 ALS

使用-method als即可做ALS学习。参数选择如下:

  • regular: 正则项,非零正值.
  • init_stdev: 正态分布的标准差,它用于初始化参数V。你应使用一个非零正值

对于ALS,你需要指定以下的正则参数:

  • 1个值(-regular value): 所有模型参数都使用相同正则项
  • 3个值(-regular ‘value0,value1,value2’): 0-way interactions(w0),使用value0作为正则项;1-way interactions(w)使用value1,而pairwise interactions(V)使用value2.
  • 分组指定值(-regular ‘value0,value1g1,…,value1gm,value2g1,…value2gm’),对于m组,存在着1+2m项正则项:如果输入参数分过组,每组的1-way和2-way interaction,都需要一个正则项.
  • 没有值:如果参数-regular完全没指定任何数,则对应于没有正则项。比如:-regular 0

示例:

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./libFM -task r \
	-train ml1m-train.libfm \
	-test ml1m-test.libfm \
	-dim ’1,1,8’ \
	-iter 1000 \
	-method als \
	-regular ’0,0,10’ \
	-init_stdev 0.1

6.4.3 马尔可夫链蒙特卡尔理论(Markov Chain Monte Carlo:MCMC)

使用 -method mcmc 用作MCMC学习。参数如下:

  • init_stdev: 正态分布的标准差,它用于初始化参数V。你应使用一个非零正值

示例:

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./libFM -task r \
	-train ml1m-train.libfm \
	-test ml1m-test.libfm \
	-dim ’1,1,8’ \
	-iter 1000 \
	-method mcmc \
	-init_stdev 0.1

6.4.4 自适应SGD(SGDA)

使用参数 -method sgda可用于SGD学习。SDGA学习中,正则项的值(每个分组和每层)会自动发现。你可以指定一个验证集,用于调整正则项:

  • validation: 该数据集用于调整正则项参数。该数据集应与训练集不重合
  • learn_rate: 学习率,即SGD的step size。它具有非零正值
  • init_stdev: 正态分布的标准差,它用于初始化参数V。你应使用一个非零正值

示例:

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./libFM -task r \
  -train ml1m-train.libfm \
  -test ml1m-test.libfm \
  -dim ’1,1,8’ \
  -iter 1000 \
-method sgda \
-learn_rate 0.01 \
-init_stdev 0.1 \
-validation ml1m-val.libfm

7. BS扩展

  • (a)LibFM数据文件(即设计矩阵X的表示),包含了大的重复的pattern块
  • (b)LibFM的BS extension,它允许使用一个关于数据文件的更有效压缩表示,对于重复的patterns只会出现一次.

在关系设置中,设计矩阵(Design Matrix)会包含重复的patterns大块。这会产生一个很大的设计矩阵,从而使得学习变慢,并且占用大量内存。LibFM的BS扩展,允许定义和使用设计矩阵的块结构。使用BS,runtime和内存消耗都是随数据size线性增长的。更多细节详见[7].

7.1 数据格式

BS extension允许定义块(比如:上图中的B1, B2, B3),并在libFM中使用它们。每个块的定义包含这几部分:

  • 关于块的设计矩阵(上图中的X^B1)
  • 训练样例(或测试样例),映射到块中的行(例如:图中的:ø^B1)
  • 设计矩阵中,可选参数grouping

对于每个块,期望以下的文件:

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<blockname>.x: 块的设计矩阵,二进制文件
<blockname>.xt: <blockname>.x的转置矩阵
<blockname>.train: 从train rows到block rows的映射
<blockname>.test: 与train相类似
<blockname>.groups: 可选文件,用于grouping预测变量

7.3 运行BS数据

使用命令行参数 –relation. 假设定义了两个块(rel.user和rel.item):

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./libFM -task r \
	-train ml1m-train \
	-test ml1m-test \
	-dim ’1,1,8’ \
	--relation rel.user,rel.item

注意,对于每个块,上述列出的文件必须出现(比如:rel.user.x, rel.user.xt, rel.user.train, rel.user.test, (rel.user.groups), rel.item.x, rel.item.xt,等)

7.4 注意BS的使用

  • BS只支持MCMC和ALS/CD.
  • 当使用BS时,–train和–test参数仍是必选的,必须指定文件。libFM文件,通过–train和–test参数传递,具有预测变量,也可以是空。文件可以是二进制或文本格式。
  • BS设计矩阵的变量ids的名字空间是不一样(distinct)的。例如:在X^B1,和在X^B2的索引7的变量,是不同的。LibFM内部会给大的变量id添加offset。
  • BS文件分组的名字空间也是不一样的。每个分组文件分组从0开始,重复的解析方式与predictor variable ids相同。
  • 如果没有分组文件传进去,每个块都会自动假设它有一个不同分组

参考

  • www.libfm.org
  • [1] Chih-Chung Chang and Chih-Jen Lin. Libsvm: A library for support vector machines. ACM Trans. Intell. Syst. Technol., 2:27:1–27:27, May 2011.
  • [2] Christoph Freudenthaler, Lars Schmidt-Thieme, and Steffen Rendle. Bayesian factorization machines. In NIPS workshop on Sparse Representation and Low-rank Approximation, 2011.-
  • [3] Thorsten Joachims. Making large-scale support vector machine learning practical, pages 169–184. MIT Press, Cambridge, MA, USA, 1999.
  • [4] Steffen Rendle. Factorization machines. In Proceedings of the 10th IEEE International Conference on Data Mining. IEEE Computer Society, 2010.
  • [5] Steffen Rendle. Factorization machines with libFM. ACM Trans. Intell. Syst. Technol., 3(3):57:1– 57:22, May 2012.
  • [6] Steffen Rendle. Learning recommender systems with adaptive regularization. In WSDM ’12: Pro- ceedings of the third ACM international conference on Web search and data mining, New York, NY, USA, 2012. ACM.
  • [7] Steffen Rendle. Scaling factorization machines to relational data. In Proceedings of the 39th in- ternational conference on Very Large Data Bases, PVLDB’13, pages 337–348. VLDB Endowment, 2013.
  • [8] Steffen Rendle, Zeno Gantner, Christoph Freudenthaler, and Lars Schmidt-Thieme. Fast context- aware recommendations with factorization machines. In Proceedings of the 34th ACM SIGIR Con- ference on Reasearch and Development in Information Retrieval. ACM, 2011.

libfm方面,其它推荐好文:

1.CMU 卡内基梅隆大学 Jakub Pachocki:Factorization Machines 2.深入FFM原理与实践 3.深入浅出ML之Factorization家族

本文是youtube在2010年提出的系统,现在回过头去看看它在当时是如何实现youtube的推荐系统的。

系统设计

推荐系统的整个设计都围绕以下的目标:我们希望相应的推荐(recommendations)是适度最新的(recent)、新鲜的(fresh),多样化的(diverse),并且与用户最近的动作有相关性(relevant)。另外,重要的一点是,用户能理解为什么某个视频会被推荐给他们

推荐的视频集合通过使用一个用户的个性化行为(观看,收藏,喜欢)来生成作为种子,然后通过基于视频图的co-visitation对集合进行扩展。该视频集接着使用多个信号为相关性(relevance)和多样性(diversity)进行排序

从工程的角度看,我们希望系统的单个组件相互解耦,允许它们进行独立的调试,以便容错,降低系统的整体复杂度。

1.输入数据

在个性化视频推荐的生成期间,我们会考虑多个数据源。总之,有两大类的数据要考虑:1)内容数据(content data),比如原始视频流和视频元信息(标题,简介等),2)用户行为数据(user activity data),可以进一步分类为显式和隐式。显式行为包括:对一个视频进行打分(rating),进行收藏/喜欢,或者订阅了某个上传者。隐式行为包括:观看、交互,比如:用户开始观看一个视频,用户观察了某个视频的大部分(长播放行为:long watch)

在所有的case中,数据的处理noisy很多:视频元信息可以不存在,不完整,过期,或者不正确;用户数据只捕获了在网站端的一部分用户行为,只能间接衡量一个用户的参与度(engagement)和高兴度(happiness),比如:用户完整地观看一个视频,不足够说明她确实喜欢这个视频。视频的长度和用户的参考程度,受信号质量的影响。再者,隐式行为数据是异步生成的,可能不完整,比如:在我们接受到一个long-watch通知前,用户可能已经关闭了浏览器。

2.相关视频

推荐系统的一个构建块是:构造一个映射(mapping),将一个视频$ v_i $映射到一个相似(similar)或相关(related)的视频集合$ R_i $上。在该上下文上,我们定义了相似视频来作为:在观看了给定的种子视频v(seed video)后,一个用户会喜欢继续观看这些视频集。为了计算该mapping,我们使用了有名的技术:关联规则挖掘(association rule mining)、或者 co-visitation counts。让我们来看下:用户在网站上观看行为的session。对于给定的时间周期(24小时),我们会统计每对视频对(video pair):$(v_i,v_j)$,在session内被同时观看(co-watch)的次数。将该co-visitation count置为$ c_{ij} $,我们定义了视频$ v_j $基于视频$ v_i$的相关得分:

…(1)

其中,$c_i$和$ c_j $是所有session上视频$v_i$和$ v_j$各自的总共现次数。$ f(v_i,v_j)$是一个归一化函数,它会考虑种子视频和候选视频的“全局流行度(global popularity)“。一种最简单的归一化函数是,简单地除以视频的全局流行度的乘积:$f(v_i,v_j)=c_i \cdot c_j $。也可以选择另一种归一化函数。见paper[6]。当使用候选的简单乘积进行归一化时,$c_i$对于所有的候选相关视频是相似的,可以在我们的设置(setting)中忽略。这本质上会在流行视频中支持更低流行度的视频。

对于一个给定的种子视频$v_i$,我们接着选取相关视频$R_i$的集合,通过它们的得分$r(v_i,v_j)$进行排序,选取topN个候选视频。注意:除了只选取topN个视频外,我们也加入一个最低的得分阀值(minimum score threshold)。因而,对于许多视频,我们不能计算一个可靠的相关视频集合,因为它们整体的观看量(view count:与其它视频的co-visitation counts)很低。

注意,这是一个简化版的描述。实际上,还存在额外的问题需要去解决——表示偏差(presentation bias),噪声观看数据(noisy watch data),等————在co-visitation counts之外的额外数据源,也可以被使用:视频播放的sequence和time stamp、视频元信息等等。

相关视频可以被看成是:在视频集上引导成一个直连图(directed graph):对于每个视频对$(v_i,v_j)$,从$v_i$到$v_j$上有一条边(edge) $ e_{ij} $,如果$v_j \in R_i $,该边的权重由等式(1)给定。

3 生成推荐候选

为了计算个性化推荐,我们将相关视频的关联规则,以及一个用户在网站上的个人行为相结合:它包括被观看的视频(超过某个固定阀值),以及显式收藏(favorited)、喜欢(liked)、打分(rated)、添加到播放列表(added to playlists)的视频。我们将这些视频集合称为种子集(seed set)。

对于给定的种子集合S,为了获取候选推荐,我们将它沿着相关视频图的边进行扩展:对于种子集合里的每个视频$v_i$,会考虑它的相关视频$ R_i $。我们将这些相关视频集合的合集(union)表示为$C_1$:

…(2)

在许多情况下,计算$C_1$对于生成一个候选推荐集合是足够的,它足够大并且足够多样化来生成有趣的推荐。然而,实际上任何视频的相关视频的范围都趋近于狭窄(narrow),经常会突显(highlighting)出那些与种子视频相似的视频。这会导致相当狭窄的推荐(narrow recommendation),它确实会让推荐内容与用户兴趣接近,但对于推荐新视频给用户时会很失败。

为了扩大推荐的范围,我们通过在相关视频图上采用一个有限的传递闭包(limited transitive closure),来扩展候选集。$C_n$被定义成这样的视频集合,它从种子集合中的任意视频在距离n内可达

…(3)

其中$ C_0=S $是该递归定义中的base case(注意:它会为$C_1$产生一个与等式(2)的同等定义)。最终的候选集合$C_{final}$接着被定义成:

…(4)

由于相关视频图的高分枝因子(high branching factor),我们发现,在一个较小的距离上扩展,可以产生一个更宽更多样的推荐集合,即使用户只有一个小的种子集合。注意:候选集中的每个视频,与种子集合中一或多个视频有关联。为了进行ranking,我们继续跟踪这些种子与候选的关联,并为推荐给用户提供解释。

4.Ranking

在生成阶段,已经产生了候选视频,它们使用许多信号进行打分和排序。这些信息可以根据ranking的三个不同阶段归类成三组:

  • 1)视频质量(video quality)
  • 2)用户特征(user specificity)
  • 3)多样化

视频质量信号,是指在不考虑用户的情况下,判断视频被欣赏的似然(likelihood)。这些信息包括:观看量(view count: 一个视频被观看的总次数),视频的评分,评论,收藏,分享行为,上传时间等。

用户特征信号,用于增强一个视频与某个用户特有的品味和偏好相匹配。我们会考虑种子视频在用户观看历史中的属性,比如:观看量(view count)、观看时长(time of watch)。

通过使用这些信号的一个线性组合,我们这些候选视频生成了一个排序列表。因为,我们只会展示少量的推荐(4到60之间),我们必须选择列表的一个子集。这里不用选择最相关的视频,我们会在相关性和跨类目多样性上做一个平衡优化。因为一个用户通常在不同时刻会在多个不同的主题上有兴趣,如果视频相互间太相似在该阶段会被移除,以便增加多样性。一种简单的方式是,限制每个种子视频相关推荐数目,或者限制相似频道(channel/uploader)的推荐个性。更综合的方式是基于主题聚类,或是进行内容分析。

5.UI

推荐的表示在整个用户体验上是很重要的一环。图1展示了推荐是如何在youtube主页上进行表示的。有少量新特性需要注意:首先,所有的推荐视频使用一个缩略图(thumbnail)、标题、视频时间、流行度进行展示。这与主页上的其它部分相类似,可以帮助用户快速决定是否对一个视频有兴趣。再者,我们添加了一个带有种子视频链接(它触发了推荐)的解释(explanation)。最后,我们给出了用户控制,可以看到在主题上有多少个推荐。

在ranking那一节,我们计算了一个推荐的排序列表,但在serving time只会展示其中一个子集。这允许在每次用户到达网站时提供新的、之前未看过的推荐,即使底层的推荐没有被重新计算。

6.系统实现

我们选择一种面向批处理的预计算方式(batch-oriented pre-computation approach),而非按需计算。这样做的优点是:推荐生成阶段访问大量数据会使用大量CPU资源,而在serving时预生成的推荐项可以有极低的访问延时。该方法最大的缺点(downside)是,在生成(generating)和(serving)一个特定的推荐数据集间的delay。我们缓和了这个现象,通过对推荐生成进行pipelining,每天更新数据集多次。

youtube推荐系统的实际的实现被分为三个主要部分:1)数据收集 2)推荐生成 3)推荐serving。

之前提到的原始数据信号存放在YouTube的log中。这些log会被处理,提取信号,按每用户为基础保存到BigTable中。当前处理数百万的用户和上百亿的行为事件,总的footprint为TB级别。

推荐的生成通过MapReduce计算完成,它会在user/video graph上进行walk through,来累积和计分推荐项。

生成的数据集的size相当小(GB),可以很容易通过webserver进行serving。完成一个推荐的请求时间几科由网络传输时间决定。

评估

通过A/B testing进行在线评估,真实流量分成不同的组,其中一组作为control或baseline,其它组给新特性、新数据、或新UI。两组接着进行对比。为了评估推荐质量,我们使用不同metrics的组合。主要的metrics包括CTR,long CTR(只统计点击导致观看一个视频的大部分观看行为),session length,首次long watch的时间(time until first long watch),推荐覆盖率()。我们使用这些metrics来跟踪系统的效果。

The YouTube Video Recommendation System

二次规划(Quadratic Programming)问题是最基本的非线性规划问题,目标函数是二次函数,约束条件是线性等式或不等式。目前,已经出现了很多求解二次规划问题的算法,并且仍有很多学者在从事这方面的研究工作。

在机器学习中,我们知道QP可以用来解决SVM算法的最优解问题。二次规划问题的求解证明在此处暂不讨论。

二次规划的问题可以用数学公式(octave)描述:

1
2
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7
8
 min 0.5 x'*H*x + x'*q
  x

    subject to

      A*x = b
      lb <= x <= ub
      A_lb <= A_in*x <= A_ub

相应的函数为:

  • Function File: [X, OBJ, INFO, LAMBDA] = qp (X0, H)
  • Function File: [X, OBJ, INFO, LAMBDA] = qp (X0, H, Q)
  • Function File: [X, OBJ, INFO, LAMBDA] = qp (X0, H, Q, A, B)
  • Function File: [X, OBJ, INFO, LAMBDA] = qp (X0, H, Q, A, B, LB, UB)
  • Function File: [X, OBJ, INFO, LAMBDA] = qp (X0, H, Q, A, B, LB, UB, A_LB, A_IN, A_UB)
  • Function File: [X, OBJ, INFO, LAMBDA] = qp (…, OPTIONS)

其中,H,q分别是目标函数化成标准形式后得到的实对称矩阵,列向量。求解的目标,x。A,b定义了线性约束。如果没有线性约束,A=[],b=[]。LB,UB分别是变量x的下界和上界,如果上界、下界没有约束,则LB=[],UB=[]。可以通过OPTIONS设置其它参数:比如:

‘MaxIter (default: 200)’

INFO表示算法的运行时信息。相应如下:

  • ‘solveiter’: 解的迭代数
  • ‘info’: 状态码。
  • info=0: 表示该问题是可行的,并且是convex问题。找到全局解。
  • info=1: 该问题是not convex的。找到局部解。
  • info=2: 该问题是not convex的,并且unbounded。
  • info=3: 迭代的最大次数
  • info=6: 该问题无解

示例:

编写程序:

H=[4,-4;-4,8];
Q=[-6;-3];
A=[1,1;4,1];
B=[3;9];
LB=zeros(2,1);
X0=[];
UB=[];
[X, OBJ, INFO, LAMBDA] = qp (X0, H, Q, A, B, LB, UB)

对应的输出为:

X =

   2.0000
   1.0000

OBJ = -11.000
INFO =

  scalar structure containing the fields:

    solveiter =  1
    info = 0

LAMBDA =

  -3.33333
   0.33333
   0.00000
   0.00000
   

这个标题起的有点大.

国内有许多做的还算不错的、各式各样的数据分析公司。如艾瑞,友盟等等之类的。在现在的大数据概念炒得火热的背后,其实它们的运作原理基本都差不多。

一切皆围绕数据去展开。那么数据是怎么来的呢?大致的数据来源基本上有这么几种,将分别说:

第一招:提供数据统计接口,有各种各样的API:各种编程语言的如JS/php/python/java、android/ios等等。当第三方的APP不希望单独花精力去维护一个数据分析平台时,那么很自然的,它们会选择这样的接口。这样数据自然地也被这些数据分析平台公司获取到了。那么有没有可能获取到该APP之外其它的一些信息呢?当然可以,由于android平台的安全性,这些公司一些接供的接口完全可以留下后门,当程序启动时,留下后台进程常驻(非360之类的工具也你真杀不掉)。ok,一个用户的其它移动非加密数据很有可能会被人家拿到了。ios则比较安全,8.0以上的版本基本无解。当然,还有一批越狱用户,这批用户的数据也是能拿到的。(别叫我流氓,这是行情潜规则)

第二招:还可以第三方合作。这一招也可以称为“空手套白狼”。中国的互联网环境竞争激烈,竞品太多。各种各样的公司很自然的会关注对手的情况。只要能和一家公司合作,那么很自然的,围绕对手想看这家公司的数据的问题,很自然地,可以和它相应的对手也开展这样的合作。这样,这个雪球也会越滚越大。

第三招:其它途径呢:花钱呗!付费招募。

第四招:还可以运营商(电信、移动、联通)合作。很自然地可以获取运营商根服务上的相关数据。比较某些特定用户访问某些站点的明文get数据(post无解)。

ok,数据有了。虽然可以拿到许多数据了。不过貌似不全,一家公司如果想让我做个分析研究肿么办。没关系,我们的“大数据”是吹出来的。(数据部分伪造,可以拿一些专业的互联网分析报告展开)

运营商 比例
移动 62.22%
联通 17.78%
电信 14.00%

我们接着看地域数据:

地区 比例
其它 18.00%
广东 13%
浙江 7%
北京 7%
江苏 6%
河南 6%
山东 5%
河北 5%
四川 4%
湖南 4%
湖北 3%
福建 3%
天津 3%
陕西 3%
辽宁 3%
上海 3%
山西 3%

还有操作系统的数据比例:

操作系统 比例
IOS 22%
Android 78%

ok,有了这些数据信息。那么我们就可以按比例去构建这样的大样本集。根据这样的大样本集去推演出真实的大致数据的分析即可。现在,就可以做各种各样的分析了:路径分析、个性化指标分析、转化率分析等等。

当然最重要的,是赚钱。有了一些行业内比较重量级的报告,那么就可以收费啦:一个app一个月就要10几w块钱。商业模式自然滚动起来啦。

由此看,这些数据分析公司中,抽样与统计占着相当重要的作用。

0.概述

条件随机场(CRF)是一个可用于构建概率模型(probalilistic model)的框架,可用于分词(segment)标记序列化(label sequence)数据。条件随机场提供了比隐马尔可夫模型(HMM)随机文法(stochastic grammars)更多的优点,能放宽这些模型中所存在的强独立性猜想。CRF也可以避免MEMM(最大熵马尔可夫模型)、以及其它基于有向图模型的判别式马尔可夫模型的基本限制,这两个模型的状态与一些后续的状态有标注偏差。本文基于CRF的迭代式参数估计模型,比较了与HMM和MEMM在人工合成数据上和自然语言数据集上所生成模型的性能。

1.介绍

许多科学领域中的许多问题,都涉及到分词(segment)与序列化标注(label sequence)。对于这类问题,HMM和随机文法(stochastic grammars)很好理解并被广泛用于解决这类问题的概率模型。在计算生物学上,HMM和随机文法(stochastic grammer)已经成功用于生物序列对齐,寻找序列差异以求证进化族谱,分析RNA二次结构。在计算语言学和计算科学上,HMM和随机文法(stochastic grammars)也被广泛用于文本和语音处理,包括话题分段(topic segmentation),词性标注(part-os-speech tagging),信息抽取,以及句法消歧。

HMM和随机文法(stochastic grammars)都是生成模型,为成对的观察和标注序列分配了联合概率;它们的参数训练目标是:对训练样本进行最大化联合似然。为了在观察和标注序列上定义一个联合概率,我们需要一个生成模型来枚举所有可能的观察序列,这通常需要一个表示方法来表示哪个观察值是适合任务的原子实体(词或核甘酸)。表示多种交叉特征(interacting features)、或者在观察值上的长范围依赖是不实际的。因为对于这样的模型,这种推断问题是很棘手的。

正因为存在这种困难,我们需要寻找另一种可替代的条件模型(conditional model)。给定观察序列后,该条件模型会给出所有可能标注序列的概率。因此,它不会在观察集上花费建模开销,它会在测试时确定。更进一步,标注序列的条件概率可以靠武断决定,而观察序列的非独立特征,不会强制模型来说明这些依赖的分布。对于相同的观察集,或相同观察序列的聚合属性(例如,文本布局),选中的特征可以表示成不同粒度的属性(例如:英文文本中的词和字符)。如果可能的话,标注之间的转移概率,不仅仅依赖当前观察(observations),也可以依赖过去和将来的观察。相反的,生成模型必须在观察集上做出十分严格的独立性假设(例如,给定标注的条件独立性),以便更容易处理。

最大熵马尔可夫模型(MEMM)是条件概率序列模型(conditional probabilistic sequence model),它具备上述提到的所有优点。在MEMM中,每个源状态(source state)都具有一个指数族模型(exponential model),它的输入是观察集特征,输出是下一可能状态的分布。这种指数族模型,会在在最大熵框架上通过一个合适的迭代归一化方法(iterative scaling method)进行训练。相对于在常用的分词任务中使用的HMM,之前发布的指数族模型的结果展示了MEMM会增加召回率(recall)以及两倍的准确率(precision)。

MEMM和其它的基于下一状态分类器的非生成式有限状态机模型,比如判别式马尔可夫模型(discriminative Marklov model),都有一个缺点:标注偏差问题(label bias problem):从一个给定状态(State)完成后离开的转换概率(transition),与其它状态相互对立,而非与模型中存在的所有转换概率相对对立。在概率术语中,转换分(transition score)指的是:给定当前状态以及观察序列,下一可能状态的条件概率。转换分的每个状态的归一化(per-state normalization of transition scores),暗示着一个“得分块的保护(conservation of score mass)”,与所有到达某一状态的块(mass)一致,即:必须是分散在可能的后继状态之间。一个观察(observation)可以影响哪个目的状态获得该块(mass),但不会影响总共有多少个块(mass)传递到给它。这就会引起了一个偏差,出去的转换(outgoing transition)会很少。在极端情况下,一个状态只有单个outgoing transition,会有效忽略观察集。在这种情况下,不同于HMM,Viterbi decoding不能基于分枝点后的观察向下查找分支,而基于状态转移结构的模型(models with state-transition structures),具有状态的稀疏连接链,它们不能被有效处理。这种在MEMM中的马尔可夫猜想(Markovian assumptions),以及相类似的状态条件模型,会将某一状态的决策,与将来的决策相孤立,不会匹配连续状态间的实际独立性。

这篇paper介绍了条件随机场(CRF),一种序列建模框架,它具有MEMM的所有优点,同时以一种有原则性的方式解决了标注偏差问题(label bias problem)。CRF与MEMM间的最不同之处是,给定当前状态,对于下一状态的条件概率,MEMM使用了一种每状态指数族模型(per-state exponential model);而CRF则不同,给定观察序列,CRF会给整个序列标注的联合概率生成单一指数族模型。因此,不同状态下的不同特征的权重,可以相互间进行权衡。

我们也可以将一个CRF看成是一个有限状态机模型,它具有未归一化的转移概率。然而,不同于其它一些加权有限状态机方法(LeCun et al.,1998),CRF分配了一个良好定义的(well-defined)在可能标注上的概率分布,通过最大似然或MAP估计进行训练。更进一步,loss函数是convex的,保证收敛到全局最优。CRF也很容易概括成上下文无关的随机文法(stochastic context-free grammars)的相似物,对于RNA的二等结构预测,以及nlp等问题很有用。

我们提出了该模型,描述两个训练过程,以及收敛的证明结构。我们也会给出在句法结构数据上的实验数据,来展示CRF,解决标注偏差问题(balel bias problem)的经典版本,并会比较CRF与HMM/MEMM间的性能。最后,我们会在基于词性标注任务上,证明这些结果,以及宣称的这些优点。

2.Label Bias Problem

经典的概率自动机(Pax, 1971),判别式Markov模型(BOttou,1991),最大熵标注器(Ratnaparkhi, 1996),以及MEMM,以及非概率序列标注和分词模型(Punyakanok & Roth, 2001)都是标注偏差(Label bias)问题的潜在受害者。

例如,图1所展示了一个简单的有限状态机模型,它设计的目的是,区分两个词: “rib”和”rob”。假设,观察到的序列是:r i b。在第一个时间阶段,r同时满足初始状态的两个转换,因此两种转换间的概率块分布相同。接下来,我们观察到:i。状态1和状态4, 两者都只有一个outgoing transition。状态1经常在训练集中观察到该观察(observation),状态4则在该观察(observation)中从未见过;与状态1相类似,状态4只能将所有块传递到单个outgoing transition,因为它不能生成该观察(observation),只能基于它。这样,带有单个outgoing transition可以有效的忽略它们的观察。更通用的说法,具有低熵的下一状态分布,将会更少地注意到观察(observations)。回到该例,上面的路径,以及下面的路径,具有相同的可能性和观察序列的依赖性。如果两个词,在训练集中很常见,从起始状态出发的转换,会更偏爱与它相关的转移(概率大),该词的状态序列将总是获胜。这种行为可以在第5部分进行演示。

Leon Bottou(1991)讨论了label bias问题的两种解决办法。其中一种是,改变该模型的状态转换结构。在以上的示例中,我们可以压缩(collapse)状态1和状态4, 延迟它们的分支,直到我们得到一个判别式观察(observation)。这种操作是决策树determinization (Mohri,1997)的一个特例。但加权有限状态机并不总是可能的,即使可能,它也会导致组合爆炸。另一种解法是,从一个完全连接的模型出发,让训练过程来指出一个好的结构。但它将导致先验结构知识的使用,在信息抽取任务中这被证明很有用(Freitag & McCallum, 2000)

想得到合适的解,需要这样的模型:比起其它依赖于相应观察的转换,它可以通过让一些转换(transition)进行更强的“投票”,来对整个状态序列作出解释。这暗示了,分值块(score mass)将不会被保留,而独自的转换可以“放大”或”抑制”它们的接受块(mass)。在上面的例子中,从起始状态的转换,在路径分上会有很弱的影响,而从状态1和状态4上的转换,将会有更强的影响,取决于实际的观察,会进行放大或衰减,对Vierbi路径的选择,会有更高的贡献。

在相关的工作部分,我们讨论了其它启发式模型,它们能为状态序列做出全局解释。充分研究发现,CRF是可以用来在纯概率设置中做到这一点,并且能保证全局最大似然收敛的唯一模型。

3.CRF

X是一个随机变量,用来表示要标注的序列数据,Y表示在相应标签序列上的一个随机变量。Y中的所有成员Yi,假设都在一个有限标注y范围内。例如,X的范围可以是所有自然语言句子,Y的范围可以是这些句子的词性标注(pos taggings),而y则是可能的词性集合(pos tags set)。随机变量X和Y是联合分布的,但在一个判别式框架上,我们会根据成对的观察和标注序列构建一个条件模型,而不会显式建模p(X).

定义:G = (V,E)是一个图, , 其中Y通过G的顶点进行索引。接着(X,Y)是一个条件随机场(conditional random field),当基于条件X,假设随机变量Yv服从该图的马尔可夫属性:

其中,w~v,意味着w和v在G中是邻居。

这样,CRF就是这样一个随机场,它完全基于条件观察X。整篇paper中,我们严肃地假设,图G是确定不变的。在最简单和最重要的序列建模示例中,G是一个简单的链(chain)或线(line):G = (V = {1,2,3,…,m}, E = {(i,i+1)})。其中,X也具有一个天然的图结构;但是总的来说,假设X和Y具有相同的图结构这一点不是必要的,X可以有任意的图结构。然后,在本篇paper中,我们最关注的是:序列X = (X1,X2,…Xn),以及Y=(Y1,Y2,…,Yn).

如果图G=(V,E),Y是一棵树(树上的一条链就是一个最简单示例),它的成员是边和顶点。因此,通过随机场(Hammersley & Clifford, 1971)的基本理论,对于给定X,在标注序列Y上的联合分布,具有以下的形式:

——– (1)

其中,x是数据序列,y是标注序列,是y的成员集合,与S子图中的顶点有关。

我们假设特征fk和gk是给定的,并且是固定不变的。例如,一个Boolean型的顶点特征gk,如果词Xi是大写的,则为true,而Yi的标注会是一个“合适的名词”。

参数估计问题,是从训练数据中,根据经验分布p(x,y), 决定参数θ = (λ1, λ2, … ; µ1, µ2, . . .) ,在第4部分,我们将描述一种迭代归一化算法,来最大化log-likelihood目标函数O(θ):

作为特例,我们可以构造一个类HMM的CRF,通过为每个状态对(state pair)(y’,y)定义一个特征,对于为每个状态-观察对(state-observation pair)(y,x),满足:

相应的参数与常见的HMM参数扮演着相似的角色。Boltzmann链模型也具有一个相类似的形式,但它使用单个归一化常数来生成(yield)一个联合分布;而CRF则使用依赖观察(observation-dependent)的归一化分布Z(x)来作为条件分布。

尽管它包含了类HMM的模型,条件随机场的类更具表现力,因为它允许在观察序列上存在独有的依赖。另外,特征不必完整指定一个状态(state)或观察(observation),因此,模型也可以从较少的训练数据中被估计。另一个更吸引人的特性是,loss function是凸的(convexity);确实,CRF会共享所有通用最大熵模型所具有的凸特性。

另外,我们假设:Y的依赖是基于条件X的,形成一条链。为了简化表示,我们添加start状态和stop状态:Y0=start和Yn+1=stop. 接着,我们将使用如图2所示的图结构。对于一个链结构来说,一个标注序列的条件概率,可以被表示成矩阵形式,这对于描述第4部分的参数估计和推断(parameter estimation and inference)算法来说很有用,假设是一个由(1)给定的CRF。对于在观察序列x上的每个位置i,我们定义了 矩阵的随机变量:

其中ei是标注(Yi-1,Yi)的边(edge),而vi是标注Yi的顶点。对比于生成模型,像CRF这样的条件模型,不需要枚举所有可能的观察序列x,因此可以从给定的训练或测试观察序列x和参数向量θ上,直接计算出这些矩阵。接着,归一化(配分函数:partition function)是(start,stop)条目上所有这些矩阵的乘积:

使用该符号,一个标注序列y的条件概率可以写成这样:

其中,y0=start,yn+1=stop.

4.CRF的参数估计

我们现在描述两个迭代归一化算法来寻找参数向量θ,使得它能对训练数据求得最大化条件似然。两种算法都基于改进的迭代归一化算法(IIS)。(Della Pietra et al. (1997));证明技术可以基于辅助函数,可以被扩展成展示CRF算法收敛性。

迭代归一化算法(Iterative scaling algorithms),会合理选择,来更新权重:

特殊的,迭代归一化算法(IIS)会为一个边特征fk来更新,来求解:

而T(x,y)是总特征数:

该方程同样会为顶点特征更新,具有相同的形式。

然而,对方程右手边有效计算它们的指数和(exponential sums)是有问题的,因为T(x,y)是一个关于(x,y)的全局属性,动态规划(dynamic programming)会使用潜在不同的T,在序列上求和。为了处理该算法,我们的第一个算法会使用一个”松弛特征(slack feature)”。第二个算法T,会跟踪部分T。

对于算法S,我们定义了slack feature:

其中,S是一个常数,以便,对于在训练集中所有的y,以及所有的观察向量x(i),这样使得T(x,y)=S. 特征s是“全局”的,它不会对应于任何特定的边或顶点。

对于每个索引i=0,…,n+1,我们现在定义了前进向量(forward vector),它的基本特例为:

以及递归式:

相似的,后退向量定义如下:

其中:

有了这样的定义,更新方程为:

其中,

在上面公式中,涉及到前进和后退向量的因子,与标准的马尔可夫模型(HMM),具有相同的含义。例如:

对于给定的观察序列x, 上面的p即是标注Yi=y的边际概率。该算法与Darroch and Ratcliff (1972)相近,其中MART算法用于图片重构上。

算法S中的常数S可以相当大,因为实际上,它是与最长训练观察序列的长度是成比例的。作为结果,算法可以收敛很慢,在每次迭代时,朝着最大化的方向前进一小步。如果观察以及激活特征的数目十分不同,通过为各个观察序列独自跟综特征总数,可以获取一个快速收敛算法。

定义: 。算法T累积特征期望到计数器中,由T(x)进行索引。更特别的是,给定T(x)=t,我们使用已引入的前向-后向递归(forward-backward recurrences)来计算特征fk日期望ak,t,以及特征gk的期望bk,t。接着,我们的参数更新是:

其中,βk和γk是由以下多项式方程得到的唯一的正定根:

(2)

它可以很容易由牛顿法进行计算。

算法S和算法T的单个迭代,与HMM的Baum-Welch算法相比,具有基本相同的时间和空间复杂度。为了证明我们算法的收敛性,我们派生了一个辅助函数,来限制似然的变化;这个方法由Della Pietra et al. (1997)提出。完整的证明很详细;然而,这里我们给出了一个点子来如何派生辅助函数。为了简化解释,我们假设,只有边特征fk带有参数λk。

给定两个特征设置:θ=(λ1,λ2, . . .) ,θ’=(λ1+δλ1, λ2+δλ2, . . .),我们使用一个辅助函数(auxiliary function)A(θ’,θ),来限定目标函数的变化:

其中,不等式遵循log和exp的凸特征(convexity)。按对A进行微分,以及设置结果为0,会产生方程(2).

5.实验

我们首先使用人造数据讨论了两组试验,用来强调CRF和MEMM间的不同。第一组试验,是第二部分讨论的标注偏差问题的直接验证。第二组实验,我们会使用HMM模型来生成人造数据,它们中的每一个都是一阶和二阶的混合模型。接着训练竞争型的一阶模型,并在测试集上进行比较。随着数据变成二阶,训练模型的测试误差率(test error rates)会上升。该试验通过一阶马尔可夫模型符合常用的建模实践(近似复杂局部和长范围依赖),正如自然数据中会发生的那样。我们的结果明显指出,即使当模型以相同的方式进行参数化,CRF也比MEMM或HMM更健壮,并能解决标注偏差问题(会影响MEMM的性能)。为了避免不同影响的混淆,MEMM和CRF在实验中不会使用观察集上的重复特征。最终,在词性标注试验中,我们确认了CRF优于MEMM。我们也展示了CRF和MEMM的重复特征,它们比HMM性能更好。

5.1 建模偏注偏差

从一个简单的HMM中生成的数据,它可以编码成一个噪声版本的有限状态网络,如图1所示。每个状态会触发相应的符号,对应概率29/32,其余符号的概率为1/32. 我们同时训练了MEMM和CRF,使用与HMM生成数据相似的拓朴。观察特征可以简化成观察符号的id。在运行了2000个训练和500个测试样本中,迭代归一化算法的收敛,CRF的error只有4.6%,而MEMM的error则为42%,这说明MEMM在判别分支时失败了。

5.2 建模混合阶的源数据

对于这些结果,我们使用五种标注:a-e(),以及26个观察值,A-Z();然而,对于y和X的size的范围取值,结果本质上是相同的。我们从一个混合阶的HMM生成数据,它具有状态转移概率:

相似的,触发概率(emission probabilities)为:

这样,对于α = 0, 我们具有一个标准的一阶HMM。为了限制对于产生的模型的Bayes error rate的size,条件概率表Pα被限制为稀疏的。特别的,对于每个y,y’,具有至多两个非零条目。对于每个y,x’,可以至多三个非零条目。对于每个随机生成的模型,会生成1000个长度为25序列的样本,用于训练和测试。

在每个随机生成的训练集上,CRF会使用算法S进行训练(注意,因为序列长度,活跃特征数是常数,算法S和算法T是相同的)。该算法收敛相当慢,通常会在500次模型迭代后开始稳定。在我们的500 MHz Pentium PC上,每次迭代会花费0.2s。在相同的数据上使用MEMM进行迭代归一化训练,它不会需要前后向计算,因而更有效。MEMM训练收敛更快,在100次迭代在右就开始稳定。对于每个模型,Viterbi算法用于标注一个测试集;当使用forward-backward decoding来最小化每个符号的错误率时,试验结果不会有巨大变化。

运行结果如图3所示。每个plot都会比较了模型的两个类,每个point表示单个测试集上错误率。随着α的增加,错误率会总体增加,一阶模型会对二阶数据拟合失败。该图比较了模型参数;以及模型参数 本质上是相同的。如第一图所示,CRF总体上比MEMM更好,通常有10%-20%相对误差。(对于非常小的错误率的点,α < 0.01, 其中MEMM比CRF表现更好,这归因于CRF的训练迭代次数不够)

5.3 词性标注试验

为了证实我们的人造数据结果,我们也在Penn treebank词性标注数据集上比较了HMM,MEMM,以及CRF。其中,在结定的输入句子上的每个词,必须标注成45种标注之一。

我们在该自然语言数据集上运行了两个实验。第一个,我们在人造数据实验中训练了一阶HMM,MEMM,CRF模型,在训练集中为每个标注-词对(tag-word pair)引入了参数,以及为每个标注-标注对(tag-tag pair)引入了。结果与人造数据上观察到的相一致:HMM比MEMM效果更好,因为标注偏差问题,而CRF则比HMM表现更好。训练的错误率,使用了如图5.3所示的50%-50%的训练-测试集划分。结果与其它数据划分相类似。对于不在词汇表的词(oov:out-of-vocabulary)的错误率,它们不会在训练集中观察到,会独立报告结果。

在第二个实验中,通过添加少量拼字特征(orthographic features),我们充分利用了条件模型的威力:一个拼写是否从数字或大写字母开始,是否包含连字号,是否以如下的后缀结尾:-ing,-ogy,-ed, -s, -ly, -ion, -tion, -ity, -ies. 正如我们期望的那样,这里我们发现,MEMM和CRF极大地受益于这些特征的使用,整体错误率减小到了25%左右,oov错误率减小到50%左右。

6.CRF的更进一步

CRF的许多方面对于将来学习很有吸引力。这一部分我们提到两点。

条件随机场可以通过AdaBoost算法使用指数loss目标函数进行训练(Freund & Schapire, 1997). 通常的,boosting常用于分类问题,会有一个小的、固定数目的分类;boosting应用于序列化标注,可以将每个label看成是独立的分类问题(Abney et al., 1999)。然而,可以使用并行更新算法(Collins et al. 2000)来最小化单序列的指数loss。这需要一个forward-backward算法来有效计算特定的特征期望,沿着算法T的线,期望每个特征需要一个独立集合的前向和后向累加器。

CRF的另一个吸引人的特征是,你可以为它们实现有效地特征选择,以及特征引入算法。也就是说,不必指定要使用哪个(X,Y)特征,我们可以从特征生成规则开始,并在数据上自动评估生成特征的好处。特别地,特征引入算法,可以用来拟合条件随机场的动态规划技术。

致谢

对于标注偏差问题,感谢:Yoshua Bengio, Leon Bottou, Michael Collins,Yann LeCun,

对于相关工作部分,感谢:Andrew Ng、Sebastian。

参考

http://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1162&context=cis_papers